Zkratku Googlem
[CNW:Counter]


Dnes je 17. 12. 2017
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Svátek má : Daniel
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Leoš Maršálek
Fraktály a jejich popis v Matlabu
Juliovy množiny
Jedním z typů fraktálů jsou fraktály polynomické. Během druhé světové války dva francouzští matematikové Gaston Julia a Pierre Fatou objevili zvláštní útvary nazýné Juliovy množiny. Některé se podobají keříkům, jiné mořským koníčkům, některé králíkům.

Juliovy množiny vznikají velice snadno. Zvolíme jedno náhodné komplexní čislo c, které bude charakterizovat množinu (a které nám bude ovlivňovat výsledný fraktál). Pro každý bod komplexní roviny z zjistíme, zda neustálým mocněním z a přičítáním zda c konverguje výsledek k nule, či ne. Pokud k nule konverguje, bod patří do Juliovy množiny. V praxi vypadá výpočet velmi snadno: Zkoumané číslo umocníme a přičteme k němu konstantu c. Pokud je výsledek větší než 2, bod nepatří do množiny. Pokud je menší, zopakujeme výpočet. Jestliže ani po několika iteracích nepřesáhne výsledek hodnotu 2, bod patří do Juliovy množiny.

Aby byly Juliovy množiny zajímavější, zobrazují barevně. Barvu zvolíme podle počtu iterací potřebných ke zjištění, zda číslo je či není prvkem Juliovy množiny. Juliovy množiny lze vykreslit i v trojrozměrném prostoru, kdy souřadnice z představuje barvu.

Galerie
Julia1

Julia2

Julia2

Julia2
Skript
Lorenzův atraktor
Tento fraktál je asi nejznámější, ikdyž je to jenom graf rovnic které popisují chování vodního kola. Já jsem vycházel z těchto rovnic:

xn = xn-1 + d * a * (yn-1 - xn-1)

yn = yn-1 + d * (xn-1 * (c - zn-1) - yn-1)

zn = zn-1 + d * (xn-1 * yn-1 - b * zn-1)

Za konstanty je vhodné volit a=10, b=2,6667, C=28 a D = 0.003. Mohou se zvolit i jiné konstany, ale pak Vám nemusí vyjít tak pěkný atraktor.
Lorenz1

Lorenz2

Lorenz3
Skript
King's dream
Tento fraktál zřejmě vznikl čistě z estetického hlediska. Poprvé ho popsal Clifford Pickover ve své knize Chaos in Wonderland. I jeho výpočet je velice jednoduchý. Vycházel jsem z těchto vzorců.

xn = sin(yn-1 b) + c sin(xn-1b)

yn = sin(xn-1 a) + d sin(yn-1a)

Pouhou změnou konstant se změní charakter celého fraktálu. Nejlepší konstany jsou a=-0.966918, b=2.879879, c=0.765145, d=0.744728.
kings_dream

kings_dream1
Skript
Hénonův atraktor
Tento fraktál dostal jmémo po svém objeviteli. Ten jej původně kreslil ručně a výpočty prováděl na kapesní kalkulačce. V dnešní době je to problém, protože počítače jsou velmi rychlé, ale při pomalém výpočtu je vidět, že body se objevují zcela nahodile, a bez výpočtů předchozího bodu nelze odhadnout umístění následného bodu. Tento fraktál představuje stále velký problém pro matematiky, protože při zjemňování struktůry se ukazuje, že jednotlivé křivky nejsou pouze křivkami, ale nekonečně mnoho párů křivek "vedle" sebe. Vycházím z rovnic:

xn = yn-1 + 1 - (1.4 (xn-1)^2)

yn = 0.3 xn-1

henonuv artaktor
Skript
Mandelbrotovy množiny
Benoit Mandelbrot ve svých jednadvaceti letech narazil na zapadlou práci Julia a Fatoua. Začal se zabývat Juliovými množinami a pokoušel se je zobecnit. Dlouhou dobu hledal, kterak popsat tyto množiny a sjednotit je. Až v roce 1979 objevil jakýsi "katalog" Juliových množin. Tím katalogem byla další množina v komplexní rovině, která popisovala v každém svém bodě určitou Juliovu množinu. Tato množina se nazývá dle svého objevitele Mandelbrotova. Je velice zajímavé, že tyto dvě množiny jsou spolu propojeny tak, že každý bod v Mandelbrotově množině určuje vzhled množiny Juliovy, která ke zvolenému bodu patří.Výpočet Mandelbrotovy množiny je velice jednoduchý. Zkoumáme pro každý bod komplexní roviny, zda jeho neustálým umocňováním se vzdaluje od nuly a blíží k nekonečnu. Na každý bod několikrát aplikujeme rovnici zn = (zn-1)^2 + c. Výpočet je velice jednoduchý: Vezmeme komplexní číslo a přičteme k němu jeho druhou mocninu. Výsledek zase umocníme a přičteme k němu původní číslo. Tento proces opakujeme, dokud výsledek výpočtu nepřesáhne hodnotu 2. Pokud ji přesáhne, výpočet končí. Pokud ne, bod do množiny patří.
mandelbrot

mandelbrot1
Skript
WebZdarma.cz
Reklama
Stránka byla naposledy aktualizována 4. 12. 2010
Leoš Maršálek © 1999 - 2009