Multiplikativní systémy

Pokusme se udělat si náhled na to, co to vlastně ty integrální nebo diskrétní transformace jsou. Jistě si všichni vzpomeneme na četné úlohy, kdy bylo třeba převést, např. z důvodu zjednodušení pozdějšího postupu, některé objekty z kartézského systému souřadnic do systému souřadnic sférických (kulových) nebo cylindrických (válcových) nebo naopak. Úlohy, kdy jedna kartézská soustava byla vůči druhé pootočena (nebo se otáčela) a měli jsme spočítat polohu objektu (bodu, funkce, …), daného v jedné soustavě, vzhledem k soustavě druhé, … Takovýchto úloh bychom určitě vyvzpomínali nepřeberné množství. Tento převod (přepočet) z jedné souřadné soustavy do jiné je transformací z prostoru tvořeného nějakou bází do prostoru nad jinou bází. (Báze je (snad jednoduše řečeno) základ nějakého prostoru, nejmenší možná množina lineárně nezávislých funkcí. Celý prostor je pak tvořen lineárními kombinacemi těchto bázových funkcí.)

Příklad:

Zvykli jsme si označovat v matematice či fyzice bázi kartézské soustavy maticí

nebo trojicí vektorů ,,Pak průvodič (spojnice počátku soustavy a určitého bodu) libovolného bodu lze popsat jako , kdejsou průměty průvodiče do směrů daných bázovými vektory.

Úplně stejně jsou integrální a diskrétní transformace převody funkcí (signálů) z jednoho prostoru do jiného, průměty jedné dimenze do druhé. Např. Fourierova transformace převádí signál z časové oblasti do oblasti frekvenční, je to průmět signálu z oblasti, definované nad nějakým parametrem (čas, ...) do oblasti frekvenční.

Nejčastěji provádíme transformace mezi prostory nad ortogonálními bázemi funkcí. Definujme si zde některé multiplikativní systémy.

Multiplikativní systémy na intervalu [a,b] jsou ortonormální soustavy nenulových funkcí ,kde platí pro každé dvě funkce:
-,
-
Multiplikativní systémy definujeme pro signály o ,prvcích na intervalu [0,1]. Není žádný problém libovolný signálu normalizovat. (Vydělíme jej jeho délkou.)

Stejně jako u diskrétní Fourierovy transformace zde opět platí:
a kdeje matice příslušné báze.

Multiplikativní soustavou je Rademacherův systém:


S výjimkou bodů platí vztah

Rademacherova soustava je tvořena stochasticky nezávislými funkcemi a v důsledku své jednoduchosti je velice rozšířená a používá se v teorie pravděpodobnosti při analýze náhodných procesů. Velkou výhodou této báze je, že index řádků matice souvisí s počtem nulových bodů v řádků (konkrétně).

Reklama