DFT a FFT matematicky

Diskrétní Fourierova transformace

Vzpomeňme, že ( viz učební texty k předmětu Integrální transformace - http://www.am.vsb.cz/castova/inttransf/IntegralTransf.html ) k rekonstrukci signálu z koeficientů Fourierovy řady v komplexním tvaru
,
je potřeba pro dosažení téže kvality rekonstruovaného signálu dvojnásobného počtu koeficientů než při použití Four. řady ve tvaru reálném

Chceme-li ušetřit výpočtovou kapacitu, zkrátit čas výpočtu, je tedy výhodnější použít Four. řadu v reálném tvaru. Tato skutečnost analogicky platí v diskrétní oblasti, kde si jednorozměrnou diskrétní Four. transformaci (DFT 1) definujeme např.

Označíme-li (Uvažujme pouze ortonormální soustavy funkcí. Nedopustíme se omylu, neboť každou soustavu funkcí lze normalizovat.) , můžeme psát
Vytvoříme-li matici, jejíž prvky budou , tedy

, pak platí ,
Uvědomíme-li si, že jsme definovali a vzpomeneme-li ( viz Funkce komplexní proměnné – www.am.vsb.cz/bouchala/fkp/fkp.ps ), že funkce je periodická (,, ) můžeme psát např. pro N=8:

Nakonec tedy dostáváme matici ve tvaru (př. pro N=8 )

Ze vztahu plyne , kde prvky matice jsou komplexně sdružené s prvky matice . Při výpočtu dochází krát k násobení, tudíž tento postup není vhodný tam, kde je potřeba rychle zpracovávat velké množství dat.

Příklad:

Uvažujme N=8 a . Pak diskrétní Four. transformace signálu f bude:

Rychlá Fourierova transformace

FFT - Fast Fourier Transformation

Hledáme-li rychlejší algoritmus výpočtu Four. transformace, můžeme postupovat takto.
(Pouze pro signál, který má

hodnot (vzorků), přičemž

značí množinu přirozených čísel).
Rozdělme signál na dvě komponenty:

a označme

.
Fourierova transformace signálu pak bude:

Vzhledem k tomu, že člen

není závislý na hodnotě sumační proměnné k, je možné jej předsunout před sumu:

Vztah pro

dostaneme obdobně:
přeznačme

Z periodicity funkce

plyne:

tudíž

Nyní stačí (není to nutné) místo m psát n,

Odvozené vztahy budou v následujícím textu velmi podstatné, proto je zopakujme:

Jak je patrno, rozdělili jsme transformaci přes N bodů na dvě transformace přes N/2 bodů.
Pokud však budeme pokračovat v dělení jednotlivých posloupností vždy na dvě podle obrázku (zůstaneme u značení vybraných posloupností sudých členů písmenem u, lichých členů písmenem v), dojdeme do stavu, kdy výsledná posloupnost bude obsahovat jen 2 prvky.

Jejich DFT 1 pak bude:

Příklad:

Uvažujme N=8 a Při rozkladu si pomůžeme obrázkem:

Postup výpočtu by se dal naznačit následujícím schématem:

Podrobnější (a složitější) schémata se dají najít v literatuře, zabývající se detailně diskrétními transformacemi (např. The DFT – An owner’s manual for the discrete Fourier transform; William L. Briggs, Van Emden Henson; Siam).

Nyní vzpomeňme na vztahy a aplikujme je: 

Opět aplikujeme

Poměr počtu násobení nutných k výpočtu DFT 1 a FFT 1 je (pokud si vzpomeneme, že

)

(Důkaz – viz např. Fourier and zavelet analysis; L. Narici, G. Bachman, E. Beckenstein; Springer, An introduction to wavelets trough linear algebra; M. W. Frazier; Springer.)

Např. pro p=10 je N=1024 a tedy výpočet FFT 1 je 102,4 krát rychlejší než výpočet DFT 1.

Pokud bychom chtěli využít k počítání FFT 1 maticového zápisu,

musíme se zabývat otázkou nalezení transformační matice, pro níž by platilo:
(Matice je označena velkým písmenem B podle obvyklého označování této metody – Butterfly.) Matice splňující tyto požadavky byla nalezena ve tvaru , jde tedy o matici složenou ze submatic, kde je jednotková matice řádu N/2, je diagonální matice, kterou lze obecně napsat ve tvaru:

Pak

kde roznásobení matic se řídí pravidly pro násobení matic, přičemž na submatice nahlížíme jako na prvky klasické matice. Po roznásobení matic se roznásobení submatic řídí opět pravidly pro násobení matic, kdy již násobíme přímo jednotlivé prvky submatic.
Konečný vztah pro FFT 1 signálu délky

pak je:

kde

je permutační matice, která zajišťuje rozdělení vstupní posloupnosti (signálu) na patřičné vybrané posloupnosti sudých a lichých členů. Motýlkové matice B neaplikujeme přímo na vstupní signál, ale až na součin signálu a permutační matice, což odpovídá předchozímu rozkladu podle obrázku.
Vraťme se k předchozímu příkladu (N=8 a

)
Snad trochu názorněji by se dalo psát:

Při výpočtu bychom museli postupovat zevnitř.
Postupujme však přesně podle vztahu

Výsledek můžeme srovnat s výsledky předchozích příkladů.
V každém kroku výpočtu (provádí se zprava) platí (podle ), že následující posloupnost délky m je vždy kombinací Fourierových obrazů při DFT 1 předchozích posloupností délky m/2.