Diskrétní Fourierova transformace a

rychlá Fourierova transformace

Teorie:

Podobně jako v oblasti signálů spojitých, je možné i v oblasti signálů diskrétních definovat transformaci, která bude diskrétní obdobou Fourierovy transformace ve spojité oblasti. Tuto transformaci nazýváme Discrete Fourier Transform - DFT - Diskrétní Fourierova Transformace.Ale vzhledem k tomu, že výpočet DFT vyžaduje značný počet násobení ( ), což je časově nejnáročnější operace, byl vyvinut algoritmus, umožňující značné urychlení výpočtu. Tento algoritmus je označován Fast Fourier Transform - FFT - Rychlá Fourierova Transformace.


Chcete vědět víc?

Spektra

Spektra generovaných obrázků jsou počítána funkcí FFT v Matlabu. Spektra jsou počítána ze svetělnosti (kanál Y). Kvůli vyniknutí detailů jsou ve spektrech dělány úpravy ( snížení jasu ). Jsou zde vykreslena "jednostraná" amplitudová a fázová spektra. Z estetického hlediska jsem zde také přidal přímo výsledek FFT z Matlabu. FFT počítá i záporné frekvenční pásmo, ale to je z důvodu symetrie spekter je stejné jako kladné frekvenční pásmo. Z tohoto důvodu není potřeba uchovávat tyto informace.

Obrázek Obr1 Frekvenční obraz obrázků

=>

celé amplitudové spektrum
Amplitudové spektrum
Fázové spektrum
Obrázek Obr2 Frekvenční obraz obrázků
=>
celé amplitudové spektrum
Amplitudové spektrum
Fázové spektrum
Obrázek Obr3 Frekvenční obraz obrázků
=>
celé amplitudové spektrum
Amplitudové spektrum
Fázové spektrum
Obrázek Obr4 Frekvenční obraz obrázků
=>
celé amplitudové spektrum
Amplitudové spektrum
Fázové spektrum
Obrázek Obr5 Frekvenční obraz obrázků
=>
celé amplitudové spektrum
Amplitudové spektrum
Fázové spektrum

Výpis programu v matlabu:

fft_obraz.zip

Komprese obrázků

Pro kompresi těchto obrázků jsme kvůli objektivnímu posouzení z hlediska transformací využili stejný algoritmus jako u komprese s využitím DCT. Pro všechny obrázky je opět stejné nastavení. U této transformace by se dal algoritmus trochu modifikovat k dosažení lepších kompresních poměrůdíky symetrii frekvenčního spektra

OBR1

Obr1 před kompresí

Obr1 po kompresi

Obrázek sestavený ze zahozených koeficientů
Statistická data - Matlab
Velikost obrázku před kompresí:
1843200 B

Velikost obrázku po kompresi:
46640 B

Kompresní poměr:
1 : 39.5197

Ušetřené místo v procentech
97.46962%


OBR2

Obr2 před kompresí

Obr2 po kompresi

Obrázek sestavený ze zahozených koeficientů
Statistická data - Matlab
Velikost obrázku před kompresí:
1843200 B

Velikost obrázku po kompresi:
258960 B

Kompresní poměr:
1 : 7.117702

Ušetřené místo v procentech
85.95052%


OBR3

Obr3 před kompresí

Obr3 po kompresi

Obrázek sestavený ze zahozených koeficientů
Statistická data - Matlab
Velikost obrázku před kompresí:
1843200 B

Velikost obrázku po kompresi:
26928 B

Kompresní poměr:
1 : 68.4492

Ušetřené místo v procentech
98.53906%


OBR4

Obr4 před kompresí

Obr4 po kompresi

Obrázek sestavený ze zahozených koeficientů
Statistická data - Matlab
Velikost obrázku před kompresí:
1843200 B

Velikost obrázku po kompresi:
6544 B

Kompresní poměr:
1 : 281,6626

Ušetřené místo v procentech
99,64497%


OBR5

Obr5 před kompresí

Obr5 po kompresi

Obrázek sestavený ze zahozených koeficientů
Statistická data - Matlab
Velikost obrázku před kompresí:
1843200 B

Velikost obrázku po kompresi:
9520 B

Kompresní poměr:
1 : 193,6134

Ušetřené místo v procentech
99,48351%

Výpis programu v Matlabu:


komprese_fft.zip

Závěrem:

Mnohým z Vás jistě neunikla ta podobnost spekter kosinové transformace s Fourierovou transformaci. Je to dáno tím, že kosinová transformace je speciálním případem Fourierovy transformace v reálném tvaru. Viz. DCT 



Pořád hledáte to pravé kasino, kde hrát je prostě paráda? Pak navštivte nás a zkuste třeba poker online. Pobavíte se a navíc vyděláte nějakou tu korunu navíc.


Leoš Maršálek, Jan Skapa © 2003 Leos.Marsalek@tiscali.cz, jeniczek.s@seznam.cz